|
1
registreret Arne Thomsen
243
gæster og
155
søgemaskiner online. |
|
Key:
Admin,
Global Mod,
Mod
|
|
|
Skribent: Kræn-P
Emne: Re: Den klassiske logik.
|
(fortsat)
Logikken opstod og blev udviklet hovedsageligt ved hjælp af almindelige ord, men sideløbende hermed arbejdede nogle logikere med symboler. Denne symbollogik blev udviklet til en forfinet logisk algebra af Leibniz (1646-1716), men da hans fremstilling fandtes på løse papirlapper, der først blev fundet i nyere tid, er det fortrinsvis den engelske matematiker og logiker George Boole (1815-1864), vi forbinder med den logiske algebra.
Denne logiske matematik blev bygget op over grundprincipperne i det, som vi i matematikken kalder ’det kommutative princip’. Måske husker nogle fra skoleundervisningen en læresætning om, at faktorernes orden er ligegyldig: 3 x 4 = 12 og 4 x 3 = 12. Ligeledes er rækkefølgen ligegyldig, når vi skal lægge tal sammen. Disse regler er ikke nogen endegyldig sandhed, men de skyldes, at vi har valgt det kommutative princip som et af den almindelige matematiks axiomer, postulater, definitioner, grundsætninger, udgangspunkter you name it.
Man kunne nu få den tanke, at den logiske algebra er det samme som den klassiske matematiske algebra. Det er den imidlertid ikke i fuldt omfang, idet Boole var nødt til at tage hensyn til de tre klassiske logiske axiomer, der ovenfor i første afsnit er anført som I Identitetsprincippet, II Modsigelsesprincippet og III Udelukkelsesprincippet. Hvis han ikke gjorde dette, ville hans algebra ikke være en logisk algebra.
Han gjorde sin algebra logisk ved at indføre et særligt axiom, som er i strid med det kommutative princip. Det består af en ligning, og den hedder i al sin gribende enkelhed: x2 = x. Dette skal læses som: x i anden potens (kvadratet på x) er lig med x.
Der findes kun to heltal, der kan bruges i denne ligning, og det er tallene nul og ét. Derfor vil alle resultater få enten værdien 0 eller 1. Herved imødekommes de tre logiske axiomer I, II og III. Dette vil sige, at vi i Boole’s logiske algebra opererer med sandhedsværdierne ’sand’ og ’falsk’, men aldrig noget midt imellem.
De, der måtte være stødt på programmeringssproget Pascal, vil måske huske, at der her findes en ’type’, som kaldes en ’boolean’. Den kan kun tilskrives værdien ’sand’ eller ’falsk’, og det er en meget passende anerkendelse af George Boole’s historiske indsats, at man kalder en datatype, der kun kan være sand eller falsk, for en ’boolean’.
Der er sket en vis senere udvikling af den logiske algebra, der dog ikke har pillet ved de afgørende grundprincipper i Boole’s præstation. Afdøde professor Jørgen Jørgensen skriver herom i »Indledning til logikken og metodelæren«, Munksgaard 1963, side 20-21:
»Sædvanligvis opbygges den logiske algebra nutildags som en deduktiv teori, dvs man gaar ud fra visse udefinerede tegn (grundbegreber eller indefinable) og fra visse ubeviste grundsætninger (axiomer eller postulater), som man vælger saadan, at man kan udlede (deducere) hele teorien af dem. Dette sker dels ved at definere nye tegn som ensbetydende med bestemte komplexer af grundbegreberne, dels ved at deducere nye sætninger (teoremer) som konsekvenser af grundsætningerne. (…)« (Citat slut).
Med venlig hilsen
Kristian Pedersen
|
|
|
|
