Kære Ipso Facto.

Nedenstående er som nævnt svar på dit indlæg 30/07/2008 16:56. Jeg har tidligere bragt til udtryk, at jeg har en afklaret holdning til begrebsfilosofien i dens klassiske form, hvor modsigelsesprincippet er et af de bærende axiomer. I denne forbindelse har jeg nævnt, at jeg eksempelvis af og til har måttet ty til den klassiske logik og den logiske algebra for at udfinde meningen i snørklede juridske tekster skrevet i tidligere tiders kancellisprog.

Dette må endelig ikke overfortolkes i den retning, at jeg har specialviden om klassisk begrebsfilosofi og logisk algebra. Jeg er jo ikke fagfilosof, men blot en amatør, der i sin tid blev fænget af universitetets pensum til filosofikum, hvilket jeg derefter har fulgt op på gennem læsning af filosofisk litteratur.

Logikken kan siges at være læren om, hvordan vi bruger sproget på en sådan måde, at vi når frem til sætninger, der kan siges at være sande i forhold til det – eller de – udgangspunkt(er), som vi har valgt. Hvis vi skal sige noget sandt, må der derfor ikke være indbyrdes uoverensstemmelser i det, som vi siger. Dette kalder vi kravet om konsistens.

Somme tider taler vi om tingene på en sådan måde, at vi må tale om begreber i stedet for håndfaste enkeltting. Når vi siger: ’Ræven er et rovdyr’, har vi brugt et navneord i bestemt form éntal. Men det er jo ikke én bestemt ræv, vi hentyder til, men derimod alle ræve. Derfor har vi her brugt ordet ’ræv’ som et begreb. En logik, hvori der indgår begreber, kalder vi en begrebslogik.

Ovenfor blev der talt om, at logisk sande sætninger er sande i forhold til det – eller de – udgangspunkt(er), som vi har valgt. Her skal trykket lægges på ordet ’valgt’. Der findes i den klassiske logik ikke endegyldige sandheder, men kun sandheder, der følger med logisk nødvendighed af et eller flere udgangspunkter. Ethvert valgt udgangspunkt kalder vi et axiom.

I traditional logik er et axiom eller et postulat en erklæring, der ikke bevises, men anses for enten selvindlysende eller nødvendigvis skal besluttes. Derfor tages axiomets sandhed for givet, og det fungerer som udgangspunktet for de følgeslutninger, som vi drager.

I det klassiske logik valgte man følgende axiomer, som vi også kan kalde ’logiske grundsætninger:

I Identitetsprincippet: Et sandt udsagn er et sandt udsagn, og et falskt udsagn er et falskt udsagn, ligegyldigt af hvem, på hvilket tidspunkt og under hvilke omstændigheder det udsiges. Det samme skal altid gælde om det samme.

II Modsigelsesprincippet: Intet utvetydigt udsagn kan på én gang være sandt og falskt. Man må ikke både bekræfte og benægte det samme om det samme.

III Udelukkelsesprincippet: Ethvert utvetydigt udsagn skal enten være sandt eller falskt. Hvis det er falskt at bekræfte noget bestemt om noget bestemt, så er det nødvendigvis sandt at benægte det. En tredje mulighed er udelukket.

(fortsættes . . .)

(fortsat)

Logikken opstod og blev udviklet hovedsageligt ved hjælp af almindelige ord, men sideløbende hermed arbejdede nogle logikere med symboler. Denne symbollogik blev udviklet til en forfinet logisk algebra af Leibniz (1646-1716), men da hans fremstilling fandtes på løse papirlapper, der først blev fundet i nyere tid, er det fortrinsvis den engelske matematiker og logiker George Boole (1815-1864), vi forbinder med den logiske algebra.

Denne logiske matematik blev bygget op over grundprincipperne i det, som vi i matematikken kalder ’det kommutative princip’. Måske husker nogle fra skoleundervisningen en læresætning om, at faktorernes orden er ligegyldig: 3 x 4 = 12 og 4 x 3 = 12. Ligeledes er rækkefølgen ligegyldig, når vi skal lægge tal sammen. Disse regler er ikke nogen endegyldig sandhed, men de skyldes, at vi har valgt det kommutative princip som et af den almindelige matematiks axiomer, postulater, definitioner, grundsætninger, udgangspunkter you name it.

Man kunne nu få den tanke, at den logiske algebra er det samme som den klassiske matematiske algebra. Det er den imidlertid ikke i fuldt omfang, idet Boole var nødt til at tage hensyn til de tre klassiske logiske axiomer, der ovenfor i første afsnit er anført som I Identitetsprincippet, II Modsigelsesprincippet og III Udelukkelsesprincippet. Hvis han ikke gjorde dette, ville hans algebra ikke være en logisk algebra.

Han gjorde sin algebra logisk ved at indføre et særligt axiom, som er i strid med det kommutative princip. Det består af en ligning, og den hedder i al sin gribende enkelhed: x2 = x. Dette skal læses som: x i anden potens (kvadratet på x) er lig med x.

Der findes kun to heltal, der kan bruges i denne ligning, og det er tallene nul og ét. Derfor vil alle resultater få enten værdien 0 eller 1. Herved imødekommes de tre logiske axiomer I, II og III. Dette vil sige, at vi i Boole’s logiske algebra opererer med sandhedsværdierne ’sand’ og ’falsk’, men aldrig noget midt imellem.

De, der måtte være stødt på programmeringssproget Pascal, vil måske huske, at der her findes en ’type’, som kaldes en ’boolean’. Den kan kun tilskrives værdien ’sand’ eller ’falsk’, og det er en meget passende anerkendelse af George Boole’s historiske indsats, at man kalder en datatype, der kun kan være sand eller falsk, for en ’boolean’.

Der er sket en vis senere udvikling af den logiske algebra, der dog ikke har pillet ved de afgørende grundprincipper i Boole’s præstation. Afdøde professor Jørgen Jørgensen skriver herom i »Indledning til logikken og metodelæren«, Munksgaard 1963, side 20-21:

»Sædvanligvis opbygges den logiske algebra nutildags som en deduktiv teori, dvs man gaar ud fra visse udefinerede tegn (grundbegreber eller indefinable) og fra visse ubeviste grundsætninger (axiomer eller postulater), som man vælger saadan, at man kan udlede (deducere) hele teorien af dem. Dette sker dels ved at definere nye tegn som ensbetydende med bestemte komplexer af grundbegreberne, dels ved at deducere nye sætninger (teoremer) som konsekvenser af grundsætningerne. (…)« (Citat slut).


Med venlig hilsen

Kristian Pedersen

Hej Kristian Petersen!

Nu er det i udgangspunktet givet, at vi har en forskellig tilgang til begrebsfilosofi og logik, ligesom ingen af os er fagfilosoffer. Dette betyder dog ikke andet, end at vi dyrker filosofi fordi vi finder den både nyttig, uundværlig og ikke kan lade være. Ikke fordi vi får penge for det.

Her kan et citat fra amatørfysikeren Albert Einstein tydeliggøre hvad jeg mener: "Science is a wonderful thing if one does not have to earn one's living at it." Einsteins dybe forundring over verden og menneskene kombineret med en særlig og unik evne til at tænke uden for alle paradigmer gjorde ham tillige til en indsigtsfuld filosofisk tænker og stor humanist. Og dog forblev han på disse områder en begavet amatør. Einsteins kritisk analytiske måde at forholde sig til tilværelsen, er er på mange måder forbilledlig, og jeg ser ham som et slags ideal for det ægte og sandt menneskelige, det søgende menneske, hvorfor hans tungerækkende foto er udvalgt som en passende provokation, der skal få debattørerne til at tænke og være sig selv.

Når man rækker tunge af verden er det selvfølgelig i lige så høj grad en selv, man rækker tunge af, for man er jo en del af verden. Denne enkle logiske sammenhæng synes at være gået hen over hovedet på nogle debattører. Endog sådanne, der kalder sig selv filosoffer.

Forskellen mellem os er angiveligt, at du har ”en afklaret holdning til begrebsfilosofien i dens klassiske form, hvor modsigelsesprincippet er et af de bærende axiomer.”

Derimod stiller du dig skeptisk over for den moderne begrebsfilosofi repræsenteret af Kai Sørlanders forsøg på at give den et absolut grundlag.

Du giver udtryk for, at Sørlanders og dermed også til dels mit projekt, ikke er holdbart til vejs ende.

Det er da muligt at du har ret, men for at bevise dette må du vel anerkende filosofiens eneste falsifikationskriterium: påvisning af at enten grundlaget er utilstrækkeligt, eller at kravet om modsigelsesfrihed ikke er opfyldt. Eller sagt på en anden måde, påvise at der er inkonsistenser i Sørlanders teori.

Uden her at dykke dybere ned i denne problemkreds vil jeg dog blot pege på, at uden ret grundige forudsætninger i den moderne filosofiske logik og den analytiske begrebslogiske tradition som Sørlander bygger videre på – bl.a. Wittgenstein, Zinkernagel og Favrholdt – besidder en kritiker næppe et fuldt tilstrækkeligt sæt værktøjer til at kunne påvise inkonsistenser hos Sørlander.

I stedet for disse mere abstrakte teoretiske overvejelser vil jeg tage fat i et par enkelte dele af din korte introduktion til begrebsfilosofi for i praksis at demonstrere konsekvenserne af, at vort udgangspunkt og værktøjer er forskellige.

I indledningen giver du følgende kortfattede definition af begrebsfilosofi (logik og sprog):



Efter min opfattelse er det en lidt uheldig og upræcis måde at beskrive den klassiske eller traditionelle logik på, som blev grundlagt af Aristoteles og som var dominerende frem til slutningen af det 19. århundrede.

Det mest bemærkelsesværdige ved Aristoteles' indsats på logikkens område var, at han som det første menneske indså, at det ikke var sætningernes eller argumenternes INDHOLD, men alene deres LOGISKE FORM – dvs. den logiske forbindelse, der fastlægges mellem de begreber som indgår der afgør sandhedsværdien. Dermed kan man sige at Aristoteles samtidig, med grundstamme i syllogismelæren, grundlagde BEGREBSFILOSOFIEN.

Kort sagt implicerer syllogismelæren, at hvis præmisserne er sande så tvinges man til også at antage konklusionen som sand. Argumentet kaldes GYLDIGT. Problemet er selvfølgelig vanskeligheden med at bevise, at præmisserne er absolut sande.
Den problemstilling vil jeg ikke gå ind i her.

Den fundamentale del af syllogismelæren omhandler de kategoriske udsagn og den kategoriske syllogisme. Et kategorisk udsagn er et udsagn som ikke er sammensat af andre udsagn. Det forbinder ved hjælp af ordet ”er”, kaldet kopulaet, to begreber, subjektbegrebet ”S” og prædikatbegrebet ”P”.

Et kategorisk udsagn kan variere på to måder. For det første kan det enten være universelt, hvilket vil sige, at det omhandler alle S, eller det kan være partikulært, hvilket vil sige, at det omhandler een eller flere S. For det andet kan det enten være bekræftende, dvs. tilskrive S egenskaben P, eller det kan være benægtende, dvs. fraskrive S egenskaben P.
Det betyder, at der findes følgende fire former for kategoriske udsagn, som traditionslt betegnes med bogstaverne A, E, I og O:

A: ”Alle S er P” (universelt bekræftende).
E: ”Ingen S er P” (universelt benægtende).
I: ”Nogle S er P” (partikulært bekræftende).
O: ”Nogle S er ikke P” (partikulært benægtende).

At to udsagn er hinandens KONTRADIKTORISKE modsætninger vil sige, at det ene er sandt når det andet er falsk og omvendt.

Denne korte gennemgang af grundlaget for syllogismelæren tjener det formål at påvise, at sætningers sandhedsværdi ikke afhænger af ”det eller de – valgte udgangspunkt(er)”, men alene af sætningernes LOGISKE FORM, som er helt uafhængig eller upåvirket af, hvilke begreber vi anvender i sætningerne.

Som jeg ser det, står logikken over (den transcenderer) ethvert muligt sprog. Der kan slet ikke tænkes eller konstrueres et sprog som i sin begrebsstruktur ikke er underlagt den klassiske formelle logiks syllogismelære. Et sådant hypotetisk sprog vil ikke blot være uforståeligt for os, men for et hvilket som helst muligt sprogbrugende selvbevidst væsen i et hvilket som helst muligt univers.

Konsekvensen af dette er, at sproget i sin logiske grundstruktur ikke er noget tilfældigt, som lige så godt kunne have været anderledes. Vort sprog er et nødvendigt og dermed universelt sprog som umuligt kunne være anderledes for nogen bevidsthedsvæsener noget sted. Dette er konklusionen i den nyere begrebslogiske forskning.

Når jeg gør så forholdsvis meget ud af dette kardinalpunkt i begrebsfilosofien, så er det, fordi jeg selv betragtede begrebsfilosofi som ret ubrugelig indtil jeg havde forstået sprogets (og logikkens) universelle og nødvendige karakter.

Selv om vi er forgængelige og ufuldkomne væsener så har vi ved hjælp af sprog og logik (begrebsfilosofi) mulighed for at erkende evigtgyldige universelle sandheder som er uafhængig af os og af den fysiske verden.

Hvor vanskeligt det er at nå frem til denne erkendelse vidner 2.500 års europæisk filosofihisorie om. Der er mange faldgrubber undervejs og filosofferne synes af være faldet i dem alle efterhånden som de tænkte sig frem til en dybere og sandere erkendelse.

For at sætte sagen på spidsen kan man fristes til at vende indledningen i dit definerende citat om, hvorefter det er logikken og sproget der tvinger os til at indse nogle nødvendige og sande sammenhænge. Udgangspunktet er ikke noget vi vælger – det er faktisk vore grundvilkår som sprogbrugende bevidsthedsvæsener der bestemmer den måde vi tænker og ræsonnerer på, og ikke omvendt.

Kravet om konsistens, som du nævner i sidste sætning, er ikke et vilkårligt valgt krav som sætninger skal opfylde for at kunne være sande. Det bygger på, at kontraditionsprincippet (også kaldet modsigelsesprincippet) er en endegyldig sandhed.

I din terminologi bliver konsistenskravet placeret som en grundsætning eller et axiom – altså noget vi vælger fordi det forekommer os indlysende sandt.

Efter min vurdering er det her at den basale forskel ligger i vore respektive syn på sprog og logik (begrebsfilosofi), og dermed også en forskellig opfattelse af det filosofiske grundlag for aritmetik/matematik og geometri.

Den diskussion vil jeg lade ligge til senere. Nu skal du først have mulighed for at kommentere og kritisere det jeg her er fremkommet med.

Hilsen

Ipso Facto


--------
”... Hvis vi således accepterer, at modsigelsesprincippet definerer betydningen af ordet ”ikke” (p&-p), og at det specielt fastlægger denne betydning ved at angive, hvorledes negationen af en påstand forholder sig implikationsmæssigt til påstanden selv, så har vi også forudsat en betydningsteori: en teori om, hvori et ords betydning består. ...” - filosoffen Kai Sørlander.

Kære Ipso Facto.

Tak for dit svar, som ved en umiddelbar gennemlæsning lover godt for en fornuftig drøftelse, fordi det forholder sig til centrale begreber i mit oplæg. Hvis jeg skal yde det udmærkede svar retfærdighed, må jeg imidlertid have en vis tid til eftertanke. Men det har du jo også i din slutbemærkning indstillet dig på.


Med venlig hilsen

Kristian Pedersen

Kære Ipso Facto.

Hermed vender jeg tilbage til dit svar på mit lille forenklede oplæg om klassisk logik og logisk algebra. Det er klart, at når man af hensyn til letlæseligheden maler med så bred pensel, vil mangt og meget give anledning til præcicerende kommentarer. Det er defor forståeligt, at du forholder dig kritisk til min måde at beskrive logikken på. Jeg skrev:

»Logikken kan siges at være læren om, hvordan vi bruger sproget på en sådan måde, at vi når frem til sætninger, der kan siges at være sande i forhold til det – eller de – udgangspunkt(er), som vi har valgt. Hvis vi skal sige noget sandt, må der derfor ikke være indbyrdes uoverensstemmelser i det, som vi siger. Dette kalder vi kravet om konsistens.« (Citat slut).

Du understreger som noget væsentligt, at det er sætningernes form og ikke deres indhold, der er det afgørende for sandhedsværdien. Heri er jeg naturligvis enig, og jeg håber, at jeg ikke har skrevet noget, der kunne pege i en anden retning.

Dette med, at det er formen, der er afgørende, har jeg for så vidt været indirekte inde på, idet jeg har omtalt Boole’s logiske algebra, der hovedsageligt hviler på matematikkens kommutative princip bortset fra, at Boole måtte bruge et særligt axiom, for at få logikkens sand/falsk- funktion indarbejdet.

Du er inde på Aristoteles’s betydning for logikkens udvikling. Denne kan vanskeligt overvurderes, og den blev da også skelsættende, da man endelig fandt hans værker hos araberne. Middelalderens skolastiske tænkning har simpelt hen sin væsentligste basis i Aristoteles.

Du nævner syllogismens grundlag, og jeg synes, at du af hensyn til læserne skulle fortælle i kort form, hvad en syllogisme er. Ellers kunne de gå hen og tro, at stoikernes domslogik er det samme som syllogismer.

Vore veje skilles i det følgende, når du skriver:

»Som jeg ser det, står logikken over (den transcenderer) ethvert muligt sprog. Der kan slet ikke tænkes eller konstrueres et sprog som i sin begrebsstruktur ikke er underlagt den klassiske formelle logiks syllogismelære. Et sådant hypotetisk sprog vil ikke blot være uforståeligt for os, men for et hvilket som helst muligt sprogbrugende selvbevidst væsen i et hvilket som helst muligt univers.

Konsekvensen af dette er, at sproget i sin logiske grundstruktur ikke er noget tilfældigt, som lige så godt kunne have været anderledes. Vort sprog er et nødvendigt og dermed universelt sprog som umuligt kunne være anderledes for nogen bevidsthedsvæsener noget sted. Dette er konklusionen i den nyere begrebslogiske forskning.« (Citat slut).

samt det, som du skriver længere nede:

»Kravet om konsistens, som du nævner i sidste sætning, er ikke et vilkårligt valgt krav som sætninger skal opfylde for at kunne være sande. Det bygger på, at kontraditionsprincippet (også kaldet modsigelsesprincippet) er en endegyldig sandhed.

I din terminologi bliver konsistenskravet placeret som en grundsætning eller et axiom – altså noget vi vælger fordi det forekommer os indlysende sandt.

Efter min vurdering er det her at den basale forskel ligger i vore respektive syn på sprog og logik (begrebsfilosofi), og dermed også en forskellig opfattelse af det filosofiske grundlag for aritmetik/matematik og geometri.« (Citat slut).

Her må jeg tilstå, at jeg ikke kan finde ud af, hvad du mener med, at der slet ikke kan tænkes eller konstrueres et sprog, som i sin begrebsstruktur ikke er underlagt den klassiske formelle logiks syllogismelære. Måske kunne du uddybe dette lidt.

Der, hvor vandene for alvor skilles, er der, hvor du betegner kontradiktionsprincippet – modsigelsesprincippet – som en endegyldig sandhed. Hvis jeg har forstået dette ret, indebærer dette, at der ganske enkelt ikke kan tænkes nogen verden, hvori dette princip ikke gælder.

Når du siger modsigelsesprincip, siger du samtidigt den boole’ske sand/falsk-sandhedsværdi. Ethvert kategorisk udsagn må enten være sandt eller falskt. En tredje mulighed findes ikke. Dette fører videre til, at vi så kun skulle kunne konstruere sprog, der hviler på et boole’sk grundlag, idet modsigelsesprincippet ifølge dig er en endegyldig sandhed, og derfor ikke kan betegnes som et axiom. Thi axiomer vælges jo som bekendt.

Lad os gå lidt videre med dette. Boole kunne konstruere en logisk algebra, der var baseret på matematikkens kommutative princip plus modsigelsesprincippet. Herved blev den klassiske logiks principper overholdt. Dette peger på, at der er en snæver forbindelse mellem modsigelsesprincippet og det kommutative princip, hvilket vi let kan konstatere ved at kigge på den matematik, som vi lærte i skolen.

Hvis vi nu siger: »A gange B er lig med B gange A«, står vi med et udsagn, der er sandt. Derfor vil det ifølge modsigelsesprincippet være usandt at sige: »A gange B er ikke lig med B gange A«. Herved træder den klassiske logiks binære karakter frem, idet vi ikke kan pege på nogen tredje mulighed.

Imidlertid kan man godt konstruere et matematisk sprog, ifølge hvilket det er sandt, at A gange B er lig med minus B gange A. Dette ville være et falskt udsagn, hvis modsigelsesprincippet var en endegyldig sandhed, der skulle gælde i enhver mulig verden. Men udsagnet er alligevel sandt, men kun ud fra visse valgte axiomer, som matematikeren Grassmann opstillede.

Og Grassmann’s matematik fungerer faktisk på konsistent måde, når man skal sige noget om ekstra dimensioner i forhold til de fire, som vi mener at opleve direkte. I øvrigt har det vist sig nødvendigt at bruge også andre matematiske sprog for at beskrive verden på adækvat måde, men de har i så fald forskellige sæt af aksiomer. Også Einstein brugte et andet matematisk sprog end det, som den klassiske fysik havde brugt, før han debuterede som revolutionær videnskabsmand.

Jeg har fundet et link frem, som siger noget om ikke-kommutativ geometri. Det er dels fra en pålidelig kilde og dels forholdsvis forståeligt for ikke-matematikere.


Med venlig hilsen

Kristian Pedersen